Qué Es Un Sistema Lineal

Introducción

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales que se utilizan para representar una situación donde varias variables están relacionadas entre sí de manera lineal. En este artículo, vamos a hablar de qué es un sistema lineal y cómo se resuelve.

Definición

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales que se utilizan para representar una situación donde varias variables están relacionadas entre sí de manera lineal. La forma general de un sistema lineal es: a_11 x_1 + a_12 x_2 + … + a_1n x_n = b_1 a_21 x_1 + a_22 x_2 + … + a_2n x_n = b_2 … a_m1 x_1 + a_m2 x_2 + … + a_mn x_n = b_m Donde a_ij y b_i son constantes conocidas y x_i son las variables desconocidas.

Tipos de sistemas lineales

Existen dos tipos de sistemas lineales: homogéneos y no homogéneos. Un sistema lineal es homogéneo si todos los términos independientes son cero (es decir, b_i = 0 para todo i). De lo contrario, es un sistema lineal no homogéneo.

Sistemas lineales homogéneos

En un sistema lineal homogéneo, la solución trivial (x_1 = x_2 = … = x_n = 0) siempre es una solución. Además, si el sistema tiene una solución no trivial (es decir, una solución donde al menos una de las variables es diferente de cero), entonces tiene infinitas soluciones.

Sistemas lineales no homogéneos

En un sistema lineal no homogéneo, la solución trivial no es una solución válida. Sin embargo, si el sistema tiene una solución, entonces tiene una única solución.

Cómo resolver un sistema lineal

Existen varios métodos para resolver un sistema lineal, entre ellos se encuentran: – Eliminación de Gauss-Jordan – Método de sustitución – Método de eliminación – Método de la matriz inversa

Eliminación de Gauss-Jordan

La eliminación de Gauss-Jordan es un método sistemático para resolver sistemas lineales. Consiste en utilizar operaciones elementales de filas para convertir el sistema inicial en uno equivalente que tenga una forma escalonada reducida. A partir de esta forma, es fácil encontrar la solución del sistema.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituirla en otra ecuación. Este proceso se repite hasta obtener una ecuación con una sola variable, la cual se resuelve para encontrar su valor. Luego, se sustituye este valor en las ecuaciones restantes para obtener el valor de las otras variables.

Método de eliminación

El método de eliminación consiste en sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable y obtener un sistema de ecuaciones con menos variables. Este proceso se repite hasta obtener un sistema con una sola variable, la cual se resuelve para encontrar su valor. Luego, se sustituye este valor en las ecuaciones restantes para obtener el valor de las otras variables.

Método de la matriz inversa

El método de la matriz inversa consiste en encontrar la matriz inversa del sistema lineal y multiplicarla por el vector de términos independientes. Este método es útil cuando se necesita resolver un sistema lineal con varias soluciones.

Conclusiones

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales que se utilizan para representar una situación donde varias variables están relacionadas entre sí de manera lineal. Existen dos tipos de sistemas lineales: homogéneos y no homogéneos. Además, existen varios métodos para resolver un sistema lineal, entre ellos se encuentran la eliminación de Gauss-Jordan, el método de sustitución, el método de eliminación y el método de la matriz inversa.